Droga do Ogólnej Teorii Względności
(W tekście znajdować się będą linki do filmów demonstrujących część omawianych zjawisk.)
Dorobek naukowy Alberta Einsteina jest tak znaczący, że Einstein uznawany jest za największego fizyka w historii. Jednym z jego wielkich dokonań było sformułowanie Szczególnej Teorii Względności (STW) w 1905 roku oraz 10 lat później w 1915 roku Ogólnej Teorii Względności (OTW). Nad odkryciem równań OTW Einstein pracował w latach 1907 – 1915. Owocem tego stała się najgłębsza teoria grawitacji, jaka do tej pory istnieje. Jest to teoria, która przewidziała masę nieznanych wcześniej zjawisk we wszechświecie takich jak czarne dziury, ekspansja wszechświata, fale grawitacyjne i wiele innych. Doprowadziła do powstania nowej dziedziny nauki – kosmologii. Jest intensywnie badana do dzisiaj a z równań OTW wciąż uczymy się nowych rzeczy. O ile STW jest stosunkowo łatwa do zrozumienia, aparat matematyczny wykorzystany w tej teorii jest do opanowania przez ambitnego ucznia szkoły, o tyle OTW wymaga już dużej sprawności rachunkowej i operowania zaawansowanymi narzędziami matematycznymi jak geometria różniczkowa i rachunek tensorowy. Tekst ten ma na celu przybliżyć czytelnikowi drogę do sformułowania równań OTW przez Einsteina w czasie około 8 lat pracy. Historia ta jest bardzo ciekawa, ponieważ niezwykły wyczyn zrozumienia i opisania zjawiska grawitacji z zupełnie nowej perspektywy jest wytworem czystej myśli Einsteina, pokazuje zdolność wglądu wybitnego umysłu w zupełnie nieznany wcześniej ludzkości obszar wiedzy. Co więcej, Einstein na pewnym etapie swojej pracy opisuje doświadczenie, które z opisu wygląda na doświadczenie mistyczne, ale o tym w dalszej części tekstu. 
Historię pracy nad OTW możemy zacząć w 1907 roku, kiedy Albert Einstein pisząc pracę przeglądową do czasopisma Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik na temat STW, wpadł na pomysł, który stał się zalążkiem pracy nad OTW. Sam Einstein pisze o tym pomyśle tymi słowami: „Wtedy przyszła mi do głowy najszczęśliwsza myśl mojego życia – pole grawitacyjne ma tylko względne istnienie, podobnie jak pole elektryczne generowane przez magnetoelektryczną indukcję. Ponieważ dla obserwatora swobodnie spadającego z dachu jakiegoś domu (przynajmniej w jego bezpośrednim otoczeniu) nie istnieje pole grawitacyjne. Istotnie, jeśli obserwator upuści jakieś przedmioty, pozostaną one względem niego w spoczynku, niezależnie od ich szczególnej chemicznej lub fizycznej natury..” Taki względny brak grawitacji obserwowany przez obserwatora swobodnie spadającego w polu grawitacyjnym nazywamy nieważkością. Mieszkańcy Międzynarodowej Stacji Kosmicznej nie odczuwają grawitacji dokładnie z tego powodu – swobodnie spadają w polu grawitacyjnym ziemi (https://www.youtube.com/watch?v=UyFYgeE32f0). Natężenie pola grawitacyjnego na wysokości około 400 km nad powierzchnią Ziemi, gdzie znajduje się stacja kosmiczna, jest nieznacznie słabsze niż na Ziemi i wynosi 88% natężenia na powierzchni Ziemi. Satelita porusza się z tak dobraną prędkością styczną do swojej orbity (około 7,7 km/s), że dzięki krzywiźnie Ziemi, może swobodnie spadać, a wewnątrz stacji nie odczuwa się przed to grawitacji. Równoważność pola grawitacyjnego i pola przyspieszeń później została nazwana zasadą równoważności. Zasada ta mówi, że lokalnie efekty wywołane polem grawitacyjnym lub przyspieszającym układem odniesienia, w którym pojawiają się siły bezwładności, są nierozróżnialne, czyli są równoważne. Z tego powodu możemy symulować sztuczną grawitację np. w wirówkach, w których testuje się pilotów na dodatkowe przeciążenia (https://www.youtube.com/watch?v=mOyfrwbOFJ8).  Lub eliminować efekty grawitacyjne w swobodnie spadających układach odniesienia np. loty paraboliczne wykorzystywane do wykonywania eksperymentów w stanie nieważkości oraz do treningu astronautów (https://www.youtube.com/watch?v=PosRfeUoPHM).  Pod koniec pracy przeglądowej Einsteina z 1907 roku dotyczącej STW, pojawiają się zasada równoważności (jeszcze tak nienazwana) oraz dwie bardzo ważne wynikające z niej konsekwencje. Pierwsza to przewidzenie spowolnienia pracy zegarów w okolicy silnych pól grawitacyjnych co powiązane jest ze zjawiskiem przesunięcia ku czerwieni – efekt „rozciągnięcia” fal światła w silnych polach grawitacyjnych, powodujący zwiększenie długości fali światła. Drugim, jakościowym na razie spostrzeżeniem było przewidzenie zakrzywienia promieni światła przechodzących w pobliżu masywnego obiektu, takiego jak Słońce. W latach 1908 – 1911 Einstein nie napisał ani słowa na temat grawitacji. W tym okresie prawdopodobnie myślał o grawitacji, ale głównie zajmował się drugą przełomową dziedziną fizyki w tamtym okresie — teorią kwantową. Po roku 1911 Einstein przeniósł się wraz z rodziną do Pragi. Dostał zatrudnienie na Uniwersytecie Karola. W okresie pracy w Pradze ukazały się 3 artykuły Einsteina dotyczące grawitacji. W pierwszym artykule zauważa, że potwierdzenie efektu zakrzywienia promieni światła pod wypływem pola grawitacyjnego będzie można potwierdzić raczej w wyniku obserwacji astronomicznych niż w laboratorium. W artykule pisze też o tym, że STW powinna być częścią bardziej ogólnej teorii. Ciekawą informacją w drugim artykule jest spostrzeżenie, że w obracającym się ze stałą prędkością kątową układzie odniesienia nie będzie obowiązywać geometria Euklidesa – w wyniku efektu przewidzianego w STW obwód koła poruszający się z większą prędkością niż wewnętrzne części koła, doświadczy większego efektu skrócenia (skrócenie Lorentza) niż średnica koła, czyli stosunek długości obwodu do średnicy nie będzie wynosił pi. To narusza prawo geometrii Euklidesa. W trzecim artykule znajdują się błędne uwagi dotyczące związku pola grawitacyjnego z elektromagnetyzmem. Ale można też przeczytać trafne spostrzeżenie mówiące, że energia zawarta w polu grawitacyjnym jest źródłem pola grawitacyjnego, co sugeruje, że równania teorii grawitacji powinny być nieliniowe. Trzecie spostrzeżenie zawarte w pracy mówi, że zasada równoważności w niejednorodnych polach grawitacyjnych powinna być słuszna jedynie lokalnie, czyli w niewielkim obszarze przestrzeni. W tych pracach widać już jak powoli krystalizują się założenia OTW. Międzyczasie Einstein znalazł się w Zurychu i tam spotkał swojego kolegę matematyka Marcela Grossmanna. Einstein opowiedział mu, nad czym pracuje i z jakimi problemami się zmaga. Grossmann chcąc pomóc Einsteinowi, spędził jeden dzień w bibliotece, przeglądając literaturę matematyczną, po czym powiedział Einsteinowi, że być może rozwiązanie jego matematycznych problemów można znaleźć w pracach Riemanna, Ricciego oraz Levi-Civity (ale robi zastrzeżenie, że równania Riemanna są nieliniowe). Na to Einstein się ucieszył, bo właśnie takich równań szukał. Rozpoczęła się współpraca Einsteina z Grossmannem. Na temat tej współpracy Einstein wkrótce napisał do Sommerfelda: „Nabrałem wielkiego respektu do matematyki. W moim umysłowym prostactwie tę najsubtelniejszą jej część uważałem dotychczas za czysty luksus…” Einstein wcześniej podchodził pragmatycznie do matematyki, brał z niej to, co akurat było potrzebne w jego pracy, a dzięki Marcelowi zobaczył, że matematyka potrafi też być przewodnikiem na nieznanym terenie w bardziej subtelnych zagadnieniach. W 1913 roku ukazał się duży artykuł wspólny Einsteina i Grossmanna o tytule – „Projekt uogólnionej teorii względności i teorii grawitacji”. W tej publikacji autorzy przedstawili szkic przyszłej teorii. Praca jest podzielona na dwie części – pierwszą fizyczną napisał Einstein a drugą w formie matematycznego uzupełnienia części pierwszej Grossmann. Autorzy w pracy tej wiedzieli już mniej więcej, jak powinny wyglądać równania teorii. Na tym etapie jest w ich pracy obecna kluczowa idea powiązanie tensora krzywizny czasoprzestrzeni opisanej przez tak zwany tensor metryczny z tensorem energii i pędu. W tym ujęciu masa nie wytwarza pola grawitacyjnego, jak dawniej opisał to Newton, ale zakrzywia czasoprzestrzeń, a ta krzywizna wpływa na ruch mas. Einstein i Grossmann chcieli znaleźć taką postać równań, by rozkład materii całkowicie determinował geometrię czasoprzestrzeni, czyli składowe tensora metrycznego. Natrafili przy tym na poważny ich zdaniem problem, stwierdzili, że nie da się takich równań znaleźć. Nie ma takiego wyrażenia tensorowego drugiego rzędu zbudowanego ze składowych tensora metrycznego, który by był jednoznacznie określony przez rozkład materii. Chyba że ze wszystkich możliwych przekształceń weźmiemy tylko przekształcenia liniowe, wtedy da się to zrobić. Niemniej jest bardzo nieeleganckie, te równania właśnie powinny być nieliniowe. Uważali wtedy, że nie da się inaczej tego zrobić i roboczo ograniczyli się tylko do przekształceń liniowych. Einstein nie był z tego zadowolony. Dzisiaj widzimy, że to ten problem wynikał z nieznajomości przez nich tak zwanej tożsamości Bianchiego, która dotyczy rachunku tensorowego. Z tych tożsamości wynika, że z 10 równań pola tylko 6 ma znaczenie fizyczne, a 4 są dowolne i zależą od dowolnego wyboru układu odniesienia. Einstein i Grossmann, nie znając tych tożsamości, słusznie wydedukowali, że nie da się określić 10 równań pola wiążących ze sobą tensor metryczny i tensor energii pędu, zostawały im 4, którymi nie musieli się tak naprawdę przejmować. Wiemy dzisiaj, że te 4 kłopotliwe równania są dowolne i nie trzeba ich określać. Ten błąd wlókł się za Einsteinem jeszcze dwa lata. W tym czasie Einstein uzyskał członkostwo Pruskiej Akademii Nauk, co dało mu więcej czasu z powodu braku obowiązków dydaktycznych i niezależność finansową. W tym okresie polemizował z innymi teoriami grawitacji, które powstały w tym okresie. Powstały one na skutek prac Einsteina, ponieważ to on zwrócił uwagę, że coś jest nie tak z dotychczasowym opisem grawitacji. Polemizował z Maxem Abrahamem i Gustawem Mie w sprawie ich teorii grawitacji. Pozytywnie ocenił teorię Nordstroma, który opisał grawitację w języku skalarnym, a jak wiemy Einstein zrobił to w języku tensorowym. Na zjeździe w Wiedniu Einstein dokonywał przeglądu różnych teorii grawitacji i o teorii Abrahama nawet nie wspomniał. Obecny na sali Abraham wstał i spytał się, dlaczego pominął jego wyniki, Einstein odpowiedział – interesują mnie tylko te teorie, które spełniają zasadę równoważności, a pańska teoria nie spełnia i dlatego o niej nie mówię. W tym czasie Einstein zapoznał się lepiej z rachunkiem tensorowym i z geometrią Riemanna. Po opublikowaniu jednej z prac Einstein dostał list od Leviego-Civity, który zwracał mu uwagę na pewne błędy i niedociągnięcia i Einstein się po prostu douczył. W tym okresie Einstein opublikował jeszcze jedną pracę z Grossmannem, w której pokazują, że ich równania są niezmiennicze względem szerszej klasy układów odniesienia niż tylko liniowe, ale nadal jest to klasa ograniczona. Celem Einsteina było znalezienie rozwiązań niezmienniczych względem wszystkich układów odniesienia. Takie rozwiązanie byłoby najbardziej eleganckie.
Przełom w poszukiwaniach Einsteina nastąpił w 1915 roku, kiedy w czerwcu i lipcu Einstein przebywał w Getyndze. Miał tam 6 dwugodzinnych wykładów, na których prezentował swoje dotychczasowe wyniki pracy nad nową teorią grawitacji. Wśród słuchaczy byli między innymi wybitni matematycy David Hilbert i Felix Klein. Zwłaszcza Hilbert zainteresował się tym problemem i sam zaczął poszukiwać właściwej postaci równań pola. Przełom Einsteina polegał na tym, że uświadomił sobie błąd, który popełnił dwa lata wcześniej podczas pracy z Grossmannem, a mianowicie, że nie da się ustalić jednoznacznie metryki przestrzeni za pomocą tensora energii-pędu (chodzi o to, że 6 z 10 równań pola posiadają interpretacje fizyczną, a pozostałymi 4 nie trzeba się przejmować). Po uświadomieniu sobie tego błędu Einstein oddał się bardzo intensywnej pracy. W listopadzie jest już blisko rozwiązania, żyje jakby w amoku, całkowicie pochłonięty pracą. Ważne są kolejne czwartki, poczynając od 4 listopada, kiedy to odbywają się posiedzenia Pruskiej Akademii Nauk. Einstein na pierwszym posiedzeniu powiedział – „Straciłem wiarę w uzyskane przeze mnie równania pola… Powróciłem więc do żądania ogólnej kowariantności równań pola, z której zrezygnowałem z ciężkim sercem, wówczas gdy pracowałem z moim przyjacielem Grossmannem”. Einstein prezentuje już prawie poprawne równania, ale skrywa się w nich jeszcze niewielki błąd. Tydzień później 11 listopada Einstein prezentuje pewną poprawkę, która czyni rozwiązanie bardziej eleganckim, ale narzuca pewne dodatkowe ograniczenie. Widać, że Einstein intensywnie poszukuje i czuje, że jest już blisko.
W czwartek 18 listopada Einstein prezentuje konsekwencje obserwacyjne równań z poprzedniego tygodnia przy założeniu, że tensor energii-pędu równa się zeru. Takie równania odpowiadają opisowi pustej czasoprzestrzeni i są potrzebne do przewidzenia ruchu peryhelium Merkurego. Co ciekawe Einstein nie znał jeszcze poprawnej formy równań, miał błąd w części opisanej za pomocą tensora energii-pędu, ale przez to, że do obliczeń przyjął tą część równą zeru, wyniki wyszły poprawne. Podsumowując, Einstein do obliczenia konsekwencji obserwacyjnych przez przypadek użył poprawnych równań ponieważ mógł w obliczeniach wyzerować część, w której miał jeszcze błąd. Z punktu widzenia Ziemi obserwowalna precesja orbity Merkurego wynosi 5600” (sekund łuku) na wiek. Obliczając tę wielkość z równań Newtona i biorąc pod uwagę wszystkie czynniki, które na nią wpływają, takie jak oddziaływanie Merkurego z innymi planetami (to jest główny czynnik), ale też niewielka deformacja Słońca wynikająca z jego ruchu obrotowego, oraz inne subtelne efekty, otrzymuje się wielkość precesji 5557” na wiek. Różnica pomiędzy obserwacjami a przewidywaniami teoretycznymi w ramach teorii grawitacji Newtona wynosi 43” na wiek. Einstein wyliczył poprawkę do efektu precesji Merkurego, wynikającą z jego równań i wyszło mu 43,03” na wiek. Porównał to z najnowszymi danymi obserwacyjnymi opublikowanymi przez amerykańskiego astronoma Newcombe’a, które wynosiły (45 +/- 5)” na wiek. Jak opisywał później to przeżycie koledze Haasowi, coś się w nim wtedy zerwało, jakby przyroda do niego przemówiła. Fokkerowi, swojemu późniejszemu współpracownikowi powiedział, że doznał wtedy palpitacji serca. Było to wielkie przeżycie dla Einsteina, zrozumiał wtedy, że jego nowa teoria grawitacji jest poprawna, równania wpadły w rezonans z rzeczywistością, dawały wgląd w nowe nieznane dotąd obszary wiedzy na temat wszechświata. Jak obecnie wiemy, był to zaledwie początek nowych odkryć, które umożliwiły później te równania. Einstein podał jeszcze w czasie posiedzenia 18 listopada przewidzenie ugięcia promieni światła przechodzących w pobliżu Słońca. Wyliczył ten efekt z błędem na 0.85”, obecne wyliczenia dają 1,7” a późniejsze pomiary tego efektu przez dwie brytyjskie wyprawy w 1919 roku, podczas zaćmienia Słońca dały (1.96 +/- 0.16)” i (1.61 +/- 0.4)”.
Na kolejnym, historycznym z obecnego punktu widzenia posiedzeniu, Einstein podał już poprawne równania pola. Wprowadził poprawki do postaci tensora energii-pędu. Wszystkie elementy układanki były już na właściwym miejscu. Wtedy niepokój twórczy Einsteina zniknął, jego teoria osiągnęła wewnętrzną doskonałość, a Einstein wiedział, że znalazł to, czego szukał i napisał: „Tym samym wreszcie, zakończona została konstrukcja Ogólnej Teorii Względności jako logicznej struktury. Postulat względności, w jego najogólniejszej postaci, która pozbawia współrzędne czasoprzestrzenne fizycznego sensu, z żelazną koniecznością prowadzi do w pełni określonej teorii grawitacji, wyjaśniającej ruch peryhelium Merkurego”.
Pewną ciekawostką jest, że matematyk David Hilbert, który był słuchaczem wykładów Einsteina w Getyndze, również szukał równań pola. Co kilka dni pisał listy do Einsteina, sygnalizując swoje postępy. Początkowo Einstein odpisywał, ale w najbardziej intensywnym okresie pracy nie czytał nawet listów, był całkowicie pochłonięty pracą. Hilbert wyprowadził poprawne równania pola 5 dni przed Einsteinem. Jako niezwykle sprawny matematyk był w stanie wyprowadzić równania pola, korzystając z tak zwanej zasady wariacyjnej. Niemniej interpretacja fizyczna tych wyników przez Hilberta była błędna i nikt mu nie przypisuje odkrycia OTW. Einstein na konferencji w 1916 roku docenił pracę Hilberta i sprostował jego błędy interpretacyjne precyzując, czego dotyczą równania OTW. Różnie można spojrzeć na dokonanie Hilberta, nie znamy jego intencji. Czy była to chęć wyprzedzenia Einsteina w jego pracy i zagarnięcia części chwały za to wielkie odkrycie, czy czysta naukowa ciekawość jak powinny wyglądać właściwe równania pola. Einstein w Getyndze prezentował już zaawansowane wyniki, które poprzedzały lata intensywnej pracy. Einstein był niezaprzeczalnie autorem podstawowych intuicji i całej konstrukcji teorii. Dokonanie Hilberta w tym świetle należy traktować raczej jako matematyczny wyczyn. Największą zasługę w pomocy Einsteinowi należy oddać jego przyjacielowi Marcusowi Grossmannowi, który naprowadził go na właściwe narzędzia matematyczne, potrzebne do opisu intuicji Einsteina.
Odkrycie OTW wpłynęło również na filozoficzne poglądy Einsteina. Wcześniej Einstein był silnym entuzjastom filozofii mechanistycznej Macha, która mówiła w skrócie, że postęp w dziedzinie nauk przyrodniczych odbywa się dzięki doświadczeniu, do którego znajdujemy adekwatny opis matematyczny. W czasie pracy Einsteina nad OTW nie istniały silne dane obserwacyjne sugerujące, że jest coś nie tak z teorią grawitacji Newtona. Można powiedzieć, że OTW jest dziełem czystej myśli Einsteina i zwraca uwagę na możliwość wglądu w prawa przyrody od strony czystych rozważań matematycznych motywowanych wewnętrzną elegancją i spójnością. Einstein później mawiał, że poprawność teorii musi być zagwarantowana dwoma czynnikami – zgodnością z teorią i wewnętrznym pięknem.


(Tekst opracowany w głównie na podstawie wykładów Profesora Michała Hellera)

Ostatnio edytowany przez Śankar (2020-03-28 15:33:59)